📚 前言
在上一章中，我们介绍了极限的基本概念和直观理解。本章将深入讲解极限的四则运算法则，并详细介绍五种常见的求极限方法，包括代入法、有理分式处理、分子分母比较、多项式极限、无穷比无穷型极限等。这些方法是微积分的基础，掌握它们能帮助你轻松应对大多数极限问题！
一、极限的四则运算法则
设函数f(x)和g(x)在x→a时的极限分别为L和M，即：
lim(x→a)f(x)=L , lim(x→a)g(x)=M
则有以下运算法则：
加法法则
lim(x→a)[f(x)+g(x)]=L+M
减法法则
lim(x→a)[f(x)-g(x)]=L-M
乘法法则
lim(x→a)[f(x)×g(x)]=L×M
除法法则（要求M≠0）
lim(x→a)(f(x)/g(x))=L/M
注意：
1、除法法则要求分母极限M≠0，否则不能直接使用！
2、他们的极限存在，才能分开计算计算，再计算四则运算的结果
3、常数可以直接提出来计算，二元函数时y与x无关时也可以提出来
4、有限个函数计算才可以使用四则运算；
二、五种常见的求极限方法
1. 多项式和有理分式可以直接代入法
适用情况：函数在x→a时连续（即直接代入不会导致分母为零或无定义）。
方法：直接把x=a代入计算。
示例：
求极限
lim(x→2)(x²+3x-1)
解：直接代入x=2：
=2²+3×2-1=4+6-1=9
注意：如果代入后分母为零（如0/0或∞/∞），则需采用其他方法。
2. 有理分式的处理（因式分解&有理化）
适用情况：代入后得到0/0或∞/∞等不定形式。
方法：
因式分解分子分母，约去公因式有理化（适用于含根号的表达式）
示例1（因式分解）：
求极限
lim(x→1)(x²-1)/(x-1)
解：直接代入得0/0，因式分解分子：
=lim(x→1)[(x-1)(x+1)]/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2
示例2（有理化）：
求极限
lim(x→4)(√x-2)/(x-4)
解：分子有理化（乘共轭式√x+2）：
=lim(x→4)[(√x-2)(√x+2)]/[(x-4)(√x+2)]=lim(x→4)(x-4)/[(x-4)(√x+2)]=lim(x→4)1/(√x+2)=1/4
3. 分子分母同除最高次项（适用于x→∞）
适用情况：求x→∞时的有理分式极限。
方法：分子分母同除以x的最高次幂，使分母趋于有限值。
示例：
求极限
lim(x→∞)(3x²+2x-1)/(2x²-x+5)
解：分子分母同除x²：
=lim(x→∞)[3+2/x-1/x²]/[2-1/x+5/x²]=(3+0-0)/(2-0+0)=3/2
4. 多项式极限（比较增长速率）
适用情况：比较分子分母的增长速度，判断极限是0、有限值还是∞。
规则：
若分子次数<分母次数，极限→0若分子次数=分母次数，极限→最高次系数比若分子次数>分母次数，极限→∞或-∞
示例：
求极限
lim(x→∞)(4x³+2x-1)/(5x²+3x+2)
解：分子是3次，分母是2次，分子增长更快，极限趋向∞。
5. 无穷比无穷型极限（洛必达法则）
适用情况：∞/∞或0/0不定式，且函数可导。
方法：对分子分母分别求导，再计算极限。
示例：
求极限
lim(x→∞)eˣ/x²
解：直接代入得∞/∞，使用洛必达法则（求导两次）：
=lim(x→∞)eˣ/2x（仍∞/∞）
=lim(x→∞)eˣ/2=∞
总结
方法适用情况关键步骤代入法函数连续直接代入x=a有理分式处理0/0或∞/∞因式分解/有理化同除最高次项x→∞的有理分式分子分母同除xⁿ多项式比较比较分子分母增长速度看最高次项洛必达法则0/0或∞/∞分子分母分别求导掌握这五种方法，你就能解决80%以上的基础极限问题！下一章我们将介绍极限的严格定义（ε-δ定义），敬请期待！
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